私の場合、こちらでのアパートに引っ越したあと、インターナショナルハウスコペンハーゲン(International House Copenhagen)というところで登録を行った。この施設はベスタポート駅(Vesterport Station)から少し離れたところにある。ただし、調べたところ登録できる施設は他にもあるようなので、居住地の近くの施設を調べていくと良いようだ。
ちなみ外観はこんな感じ。

中に入ると右手に受付がある。

受付で、何をしたのかや必要書類が揃っているかを確認され、番号が呼ばれるまで待つように言われる。私の場合は金曜の昼間に行ったのだけれど、番号が呼ばれるまで一時間以上かかったので、時間に余裕のあるときに行くことをお薦めします。
番号が呼ばれると奥の部屋に通されるのだけど、別に面接って感じでもなく必要な書類を目の前で処理してるだけという感じ。聞かれたのは、担当のかかりつけ医は男性と女性どっちがいいですか?ってことぐらいかな。
手続きが終わるとテンポラリーの保険証を渡される。ちゃんとしたカードが届くまでには1、2週間ほどかかるらしいんだけど、とりあえずはこれで医療サービスや、その他諸々のサービスが受けられるらしい。なんにせよ、とりあえずこれでなんとかコペンハーゲン市民になれたのでひと安心です。